Eulersche Formel und Polarkoordinaten

Durch Einführung des in der Gaußschen Zahlenebene eingezeichneten Winkel zwischen dem "Vektor" und der reellen Achse gilt mit den Winkelfunktionen und

mit der Vereinbarung Die Polarkoordinaten berechnen sich durch
bzw. für
Dabei gilt für alle
Im Fall ist
heißt auch Polarwinkel oder Argument von

kann auch aus dem Intervall gewählt werden. Dann berechnet sich durch

Aus den Reihenentwicklungen der Sinus- und Cosinusfunktion folgt direkt die Formel von Euler:

Man erhält so die Exponentialform der komplexen Zahl

Die oben angegebene Darstellung durch die Winkelfunktionen heißt trigonometrische Darstellung. Die Exponentialschreibweise ermöglicht oft eine Vereinfachung von Berechnungen und spielt besonders in den Anwendungswissenschaften eine große Rolle. Eine komplexe Zahl kann somit zum einen durch die rechtwinkligen Koordinaten (auch kartesische Koordinaten genannt) und zum anderen durch die Polarkoordinaten (in trigonometrischer oder Exponentialform) beschrieben werden.

Mit Hilfe der Polarkoordinaten kann man jetzt eine geometrische Interpretation der komplexen Multiplikation herleiten: Mit

gilt:
Die Multiplikation der komplexen Zahl mit der komplexen Zahl lässt sich geometrisch als Drehstreckung von interpretieren: zunächst wird um das -fache gestreckt und dann um den Winkel gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Die Division entspricht einer Stauchung und Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Multiplikation mit bzw. Division mit dreht speziell um 90 Grad.