Beispiel zur Konvergenz

Beispiel:

Die Folge ist konvergent und besitzt den Grenzwert


Beweis: Zu beliebigem wähle als kleinste ganzzahlige Zahl, die ist. Dann folgt für alle
Somit ist die Folge konvergent und hat den Grenzwert g = 0.
Erklärungen zum Beweis:
Um zu beweisen, dass die Folge den Grenzwert g = 0 hat, muss die in der Definition des Grenzwertes angegebene Eigenschaft bewiesen werden. Dazu muss aber schon die Vermutung vorliegen, wie der Grenzwert lautet. Im allgemeinen bekommt man eine solche Vermutung, indem man große Werte für n einsetzt, um zu sehen an welchen Wert sich die Folge annähert. Bei zusammengesetzten Folgen sind die Rechenregeln für Grenzwerte hilfreich.
Hat man nun die Vermutung g = 0 aufgestellt, braucht man für den Beweis noch einen passenden Wert für Dazu beginnt man, wie in der Definition angegeben, zu berechnen, und kommt auf
Da die Eigenschaft nur für alle bewiesen werden soll, gilt
Man sieht, dass die gewünschte Eigenschaft, gilt, wenn also gilt. Da ganzzahlig sein muß, wählt man also die kleinste ganzzahlige Zahl größer als und der Beweis ist vollständig.

1 Anmerkung:

Da die Ungleichung für jedes gelten soll, hängt oft von ab.