Konvergenz von Folgen und Häufungspunkte

Definition: Grenzwert

Die Zahl g heißt Grenzwert der Folge wenn es für jede noch so kleine Epsilon-Umgebung von g einen Index gibt, ab dem alle Folgenglieder in dieser Epsilon-Umgebung liegen: Symbolische Schreibweise:

1 Anmerkung:

Mit Hilfe dieser formalen Definition läßt sich beweisen, dass g der Grenzwert der Folge ist. Für das praktische Rechnen ist sie aber unbrauchbar, da sie keinen Grenzwert liefert, sondern sich mit ihr nur bereits vermutete Grenzwerte überprüfen lassen.
Eine Vermutung für den Grenzwert erhält man durch Einsetzen von großen n-Werten in die Folge.
Bei zusammengesetzten Folgen erleichtern die Rechenregeln für Grenzwerte das Auffinden des Grenzwertes.

2 Anmerkung:

Die natürliche Zahl hängt i.a. von der Wahl der Zahl ab. Man schreibt daher auch

3 Anmerkung:

Man kann zeigen, dass eine Folge höchstens einen Grenzwert besitzen kann.

Veranschaulichung

Besitzt eine Folge den Grenzwert g, so liegen für ein alle Folgenglieder innerhalb der Umgebung mit Abstand von g:

Definition: Konvergenz

Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert g hat. Symbolische Schreibweise:

(gelesen: Limes von für n gegen unendlich gleich g)
Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist, d.h. wenn sie keinen Grenzwert besitzt.

Der folgende Satz liefert ein Kriterium für die Konvergenz einer Folge, auch ohne dass eine Vermutung über einen konkreten Grenzwert vorliegt:

4 Satz: Konvergenzkriterium von Cauchy

Die Folge ist konvergent genau dann, wenn

Anschaulich gesprochen heißt das, für jede noch so kleine Zahl gibt es einen Index , ab dem alle weiteren Folgenglieder höchstens den Abstand voneinander haben.

Definition: Häufungspunkt

Eine Zahl a ist Häufungspunkt einer Folge wenn für unendlich viele gilt:

Also ist a Häufungspunkt von wenn es für jede noch so kleine Zahl unendlich viele Folgenglieder gibt, die höchstens den Abstand von a haben.

5 Satz: Satz von Bolzano Weierstraß

Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt