Beispiel zu Divergenz und Häufungspunkten

Beispiel:

Die Folge ist divergent. Sie besitzt zwei Häufungspunkte: 1, -1
Beweis der Divergenz (durch Widerspruch):
Annahme: Ein Grenzwert g existiert. Dann müsste existieren mit:

für alle Es würde folgen:
Für folgt daher:
Für die betrachtete Folge gilt aber:
für jedes n. Widerspruch!
Somit ist die Annahme, dass ein Grenzwert g existiert, falsch. Die Folge ist nicht konvergent. Sie besitzt zwei Häufungspunkte:
Für n gerade: 1
Für n ungerade: -1
Erklärungen zum Beweis: Es soll bewiesen werden, dass kein Grenzwert existiert. Also muss für einen beliebigen angenommenen Grenzwert g ein Widerspruch herbeigeführt werden.
Anschaulich ist klar, dass die Folge nicht auf einen Wert zuläuft. Man sieht sofort, daß für jedes gilt. Die Definition des Grenzwertes beruht darauf, daß die Folgenglieder immer näher an einen bestimmten Wert kommen. Da dies bei unserer Folge nicht der Fall ist, versuchen wir dies auszunutzen und die Formel aus der Definition mit der obigen Formel in Verbindung zu setzen. Also
Ist nun g ein Grenzwert für die Folge, so existiert für jedes ein so dass für jedes gilt Damit folgt aus obiger Formel also
für ein beliebiges Dies kann natürlich nicht stimmen, wie die Wahl von zeigt, und wir haben einen Widerspruch herbeigeführt.