Einführendes Beispiel

Im Folgenden werden die Begriffsbildungen um unendliche Reihen anhand eines konkreten Zahlenbeispiels entwickelt.

Betrachten Sie die unendliche Zahlenfolge

mit dem Bildungsgesetz
Aus den Gliedern dieser Folge werden die sogenannten Partial- oder Teilsummen gebildet, indem die Folgenglieder aufsummiert werden. Die ersten Partialsummen lauten dann:
Diese Partialsummen bilden wiederum eine Folge, nämlich mit dem Bildungsgesetz
heißt dabei die n-te Partialsumme, d.h. die Summe der ersten n Glieder der Zahlenfolge Für die Partialsummenfolge wird die Bezeichnung Unendliche Reihe eingeführt und symbolisch geschrieben
Eine unendliche Reihe kann daher auch als formale Summe der Glieder einer unendlichen Zahlenfolge interpretiert werden. Es stellt sich die Frage, ob eine solche unendliche Reihe einen "Summenwert" hat, der für endliche Reihen ja einfach ausgerechnet werden kann. Bei unendlichen Reihen wird dagegen der Grenzwert der Partialsummenfolge (sofern er existiert) als Summenwert definiert. In dem obigen Zahlenbeispiel muss daher untersucht werden, ob der Grenzwert
existiert.

Dafür betrachten wir die beiden Darstellungen von

die wir voneinander abziehen und somit erhalten
Für gilt da ist.

Die obige unendliche Reihe hat damit den Summenwert 1.25 und man schreibt symbolisch
Weitere Überlegungen beschäftigen sich mit den Kriterien für die Existenz dieses Summenwertes, sowie Rechenregeln zur einfachen Berechnung.